憂しと見し世ぞ今は恋しき

算数文章題講座　つるかめ算の解き方　基本問題

haruyou

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つるかめ算って？

つるかめ算って、いちばん中学受験の算数らしい計算だなんていうよね。
なんで？
はるか

Haru_You
数学では、文章題を全て方程式を使って解くので、つるかめ算は中学受験でしか使わないんだよね。
「一番その問題にあった解き方で解く」という発想が中学受験の算数の真髄なので、その象徴としてつるかめ算の名前が出されているんじゃないかな。

なんでもかんでも文章題を方程式にできるんならその方が楽そうだけど･･･。
消去算やマルイチ算みたいに、方程式とほぼ同じ意味の計算を使ってるんだし。
はるか

Haru_You
いや、つるかめ算を含めた特殊算は一番その問題にあった解き方として用意されてるので、きちんと使いどころを捉えていれば方程式よりも早く、確実に、わかりやすく解けるんだよ。
ただ、どんな問題のとき使うのか、それをきちんと覚えて理解していかないといけないってこと。さっそく、「ツルとカメ」のつるかめ算から見ていこうか。

「ツルとカメ」のつるかめ算の例題

つるとかめがいて、頭が8つ見えていて、脚の数が合計28本のとき、つるとかめはそれぞれ何匹いますか

いやいや、頭も脚も見ればツルだかカメだかわかるっしょ。
はるか

Haru_You
文章題の条件にツッコミ入れるのは無粋だからやめときなさい。
ツルとカメを使うのは江戸時代以来の和算の定番だからね。 

頭が8つなら8匹だから、1匹あたり28÷8=3.5本ずつ脚が生えて･･･るわけないか。
ツルの脚は2本でカメの脚は4本だもんね。
はるか

Haru_You
そりゃそうだ。
ところで、この8匹が全部カメだったら、脚って何本になるかな？ 

えーと、全部カメなら、8匹×4本=32本の脚があるんじゃないかな。
てことは、見えてる脚は28本だから、8匹全部カメってことはないよね。
はるか

Haru_You
今やった、「2つのものを合わせた個数がわかるときに、全部一方のものだったら合計がどうなるか」を考えるのがつるかめ算なんだよ。
そのまま解いてみようか。 

「ツルとカメ」のつるかめ算 の解き方

カメをツルにとりかえると脚が減るから、全部カメのときの脚の本数から何本脚を減らすか考えるってことか。
はるか

Haru_You
最後にやったわり算の「全体の差」÷「1つあたりの差」＝「もう一方の個数」、この式がつるかめ算の本体なんだよ。
式全体で見ると、かけ算、引き算、引き算、割り算の4つの計算の集合体がつるかめ算だね。
ここまで(8×4-28)÷(4-2)=2、と1つの式で書けるから、慣れたらそう計算するといいよ。

もし、全部ツルだったらって考えたらどうなるの？
はるか

Haru_You
(28-8×2)÷(4-2)=6、という式でカメの数が出るよ。
こんなふうに、つるかめ算ではそろえてないほうの個数が求まるので、どちらか一方を求めたいときは「求めない方にそろえる」がポイントだね。

脚の数の問題はこれでわかったけど、脚の数以外にはツルとカメで何を計算するの？
はるか

Haru_You
いやいや、つるかめ算って呼ぶけどツルとカメにこだわる必要はないんだよ。
一般的には、買い物の個数の問題とかがよく見るから、やってみようか。

買い物のつるかめ算の例題

1本60円のえんぴつと110円のボールペンを合わせて19本買って、代金が合計1490円になるとき、ボールペンを何本買いましたか

あわせて19本で合計1490円か、さっきと同じように解けるのかな？
はるか

Haru_You
買い物で、2種類のものを合わせた個数と代金の合計がわかれば、つるかめ算にできるからね。
今回はボールペンの本数を聞いているから、どうすればいい？

えーと、すべて求めないほうだったら、で考えるから、えんぴつが19本で60×19=1140円、1490－1140=350円の差があって･･･ 
はるか

Haru_You
 そうそう、求めない方にそろえて、実際と全体の差を求めて。

1本あたり110－60=50円差だから、350÷50=7本えんぴつにすればいい、かな。
はるか

Haru_You
最後は全体の差÷1つあたりの差だね、正解。

ツルとカメのときと同じように解けるね。じゃあ、解説はいらないかな？
はるか

Haru_You
いや、ここでは別の解き方を紹介しよう。
つるかめ算の解き方といえば、「面積図」だね。

買い物のつるかめ算（面積図）の解き方

Haru_You
長方形を2つ、たてが値段、横が個数を表すように書くんだ。
このとき、2つの長方形のたての長さを、はっきり差をつけて書くと見やすくなるよ。
で、たて（値段）×横（個数）の面積が代金を表すから、個数をどちらかにそろえた長方形を作って、元の図との面積の差を考えるんだ。
最後に、元の図との面積の差÷たての差＝もう一方の個数、ってなるわけだ。


たしかに見てわかりやすくなるけど、結局してる計算って同じじゃない？
はるか

Haru_You
そう、面積図にしても計算はまったく同じで、一方にそろえてから全体の差÷1つあたりの差なんだよね。
だから普通のつるかめ算を解くときには面積図は必要ないよ。

じゃあ、なんで説明したの？
はるか

Haru_You
「見てわかりやすくなる」利点があるから、割合のつるかめ算のときなんかは書くことが多いのと、三種類のつるかめトンボ算を解くときに使うから、だね。
式の意味がわかりやすい、買い物の問題で書き方を覚えておいてほしいんだ。

長いすのつるかめ算の例題

109人の生徒たちを、4人がけと7人がけの長いす合わせて19脚にちょうど座らせられたとき、4人がけの長いすを何脚使いましたか

長いすが出てくると、差集め算とかんちがいしそう。
はるか

Haru_You
そうだね、それでまちがえる生徒はよくいるよ。
でも、生徒の並べ方も1パターンしかなくて、余ったりたりなかったりしてないから差集めにできないだろ。

たしかに。
合計人数がわかってるし、合わせて19脚ってわかってるんだから、つるかめ算にできるかな。
はるか

長いすのつるかめ算の解き方

面積図で、長方形を背の高い方にそろえても同じように求められるんだね。
はるか

Haru_You
今回は背の低い方が左側にきていたけど、これも左右逆でも全然構わない。
面積図で大事なのは、2つの長方形の背の高さをはっきり変えて書くことだからね。

でも、結局は(19×7－109)÷(7－4)=8って計算になるんだから、面積図はなくてもいいんだよね。
 
はるか

Haru_You
そうだね、図を書いても書かなくても、一方にそろえてから全体の差÷1つあたりの差＝もう一方の個数、だからね。
これができるようになればつるかめ算の基本はOKだよ。

つるかめ算の基本問題　まとめ

・「2つのものを合わせた個数がわかるときに、全部一方のものだったら合計がどうなるか」を考えるのがつるかめ算！

・つるかめ算はかけ算、引き算、引き算、割り算の集合で、最後は「一方にそろえたときの全体の差」÷「1つあたりの差」＝「もう一方の個数」！

つるかめ算の基本問題　演習プリント

演習プリントには、Excelファイル版とPDFファイル版があります。
Excelファイル版はリロード・再計算（F8）するたびに数字や配列が変わります。
マクロは使用していませんので、セキュリティ警告はありません。
はるか
つるかめ算

つるかめ算の基本問題

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つるかめ算の基本問題（PDF版）

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はるか