憂しと見し世ぞ今は恋しき

算数文章題講座　旅人算の解き方　基本問題

haruyou

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旅人算って？

旅人算ってなに？
はるか

Haru_You
速さの問題で、同じ道を進む複数の登場人物の動き、「出会い」と「追い越し」を考えるのが旅人算だね。

同じ道を向かい合って進んでたらいつか出会うし、同じ方向に進んでたらいつか追い越すってことね。
はるか

Haru_You
そうだね、で、その2つにそれぞれルールがあるのでそれを覚えて、その上で公式で計算するか比を使うか考えながら解いていくよ。
なので、速さの3公式と、比の使い方を理解した上でこの単元に進んでほしいんだ。
塾カリキュラムだと、比をやる前に旅人算に入るから、あとで混乱するんだよね。

出会う時間・場所を求める旅人算の例題

 学校から1200m離れた駅に向かってAくんが80m/分で、駅から学校に向かってBくんが70m/分で同時に出発すると、2人が出会うのは出発して何分後ですか

これは「出会い」の問題だね。
道のりはわかっているし、時間を求めるんだから道のり÷速さをすればいいんだろうけど、2人の速さが違うしどうすればいいかな。
はるか

Haru_You
「出会い」「すれ違う」2人は反対向きに進んでいるってことだよね。
2人が反対向きに進んでいるとき、2人の間の道のりは2人の速さの和だけ近づいていくのはわかるかな？

そっか、Aは80mずつ、Bは70mずつ近づくんだから1分で80＋70＝150m近づくよね。
はるか

Haru_You
うん、だから「出会い」「すれ違い」で反対方向に進むときは2人の速さの和を使うんだ。
出会う時間を求める式なら、2人の間の道のり÷速さの和＝出会う時間で計算できるね。

出会う時間・場所を求める旅人算の解き方

出会う時間がわかれば、出会った場所がどの辺かも計算できるよね。
8分で出会ってるんだから、学校からは80×8=640m、駅からは70×8=560m離れたところ、だよね。
はるか

Haru_You
出会った場所を求める場合、比を使うこともできるんだよ。
2人の速さが80：70＝8：7だからね、出会う場所は2人の道のり1200mを8：7に分ける地点になるね。

そしたら、1200÷（8＋7)×8＝640m、学校から離れたところだから、さっきと同じ答えが出るね。
そこから640÷80＝8分で出会ったって求められるな。
はるか

Haru_You
だから比で求めてもいいんだけど、こんなふうに「道のり」が決まっているなら速さの3公式を使うことができる、ってことはしっかり覚えておいてね。

追いつく時間・場所を求める旅人算の例題

 Aくんが80m/分の速さで学校に向かい家を出て5分後、忘れ物を届けるために母親が180m/分の自転車でAくんを追いかけて出発しました。母親がAくんに追いつくのは、Aくんが家を出て何分後ですか

こんどは「追いつく」問題だね。
さっきのと違って、2人の間の道のりがわからないから比を使うのかな？
はるか

Haru_You
いや、問題の条件でAくんが5分先に家を出ているでしょ。
「追いつき」「追い越し」の問題で重要なのは、先行した方がどれだけの道のりを先行しているか、を考えることなんだよ。

そっか、Aくんはお母さんが出るまでに80×5＝400m先に進んでいるって計算できるから、これが2人の間の道のりになるんだね。
で、これを追いつく計算をするのに、速さはどうすればいいのかな？
はるか

Haru_You
2人の間はだんだん近づいていくんだから、「追いつく」「追い越す」で同じ方向に進むときは速さの差を使うんだ。
追いつく時間を求める式なら、先行した道のり÷速さの差＝追いつく時間で計算できるね。
あと、この問題は最後にワナがあるから気をつけて。

追いつく時間・場所を求める旅人算の解き方

あ、そうか。
母親が追いつくのには4分かかるけど、問題は「Aくんが家を出てから何分か」、って聞いてるんだね。
はるか

Haru_You
この問題で一番ミスするのはそこなんだよね。
先に出たほうと後に出たほうの、どちらが出発してからの時間を聞いているのか、よくチェックしてね。

この問題は比を使うとどうなるの？
2人の速さの比は80：180＝4：9だけど。
はるか

Haru_You
Aくんの先行した400mが進んだ道のりの差になるから、速さの比＝道のりの比で、9－4＝⑤あたり400m、
⑨あたり720m母親が進んだときに追いつくって求められるけど、正直比を使うほうが面倒になるね。
道のりを求めてるんだから、そのまま3公式で押し切ったほうがいいよ。

追いつく速さを求める旅人算の例題

Aくんが自転車で家を出て1200m進んだとき、Aくんの忘れ物に気がついた母親が時速30kmの車でAくんを追いかけたところ、家を出て3分後にAくんに追いつきました。Aくんの進む速さは毎分何mですか

速さを求める問題だから、道のり÷時間だよね。
だけど、Aくんが何分進んだかはわからないしなあ。
はるか

Haru_You
前にも言ったけど、速さの問題では何を求めるかより、何がわかっているかで考えるのが大事、それは旅人算でも同じことなんだ。

そうすると･･･追いついた道のりが1200mで、追いついた時間が3分だから、これで道のりと時間がわかることになるよね。
これを割ったら「追いつく速さ」になるのかな。
はるか

Haru_You
その「追いつく速さ」は、2人の速さの差、だったよね。
あとは分速に直して、引き算すればいいってことだね。

追いつく速さを求める旅人算の解き方

旅人算を使って速さを求めると、2人の速さの和や差が求められるってことだね。
はるか

Haru_You
そうだね、たとえどちらか一方の速さを求める問題でも、旅人算だったら2人の速さの和か差から求める、って覚えておくこと。

比で解く出会いの旅人算の例題

 兄はA地を、弟はB地を同時に出発して向かい合って進んだところ、兄は出発してから12分後に弟に出会い、その6分後にB地に着きました。弟がA地につくのは、B地を出発してから何分後ですか

えーっと、道のりもないし2人の速さもないし･･･。
これは比を使うってことかな。
はるか

Haru_You
うん、道のりが設定されてない旅人算は比を使って解くんだよ。
そのとき、動いたあとをあらわす、線分を使った情景図を書くとわかりやすくなるんだ。

書かないと解けないってわけじゃないの？。
はるか

Haru_You
慣れれば情景図を書かないでも解けるよ。
でも、書き方を覚えておいた方が役に立つからね。実際に書いてみよう。

比で解く出会いの旅人算の解き方

わかった、情景図は同じ道のりを進む時間を見つけるために書くんだね。
はるか

Haru_You
うん、同じ道のりを進む時間の比を見つければ、他の道のりを進むときの時間もその比と等しくなるからね。
また、時間の逆比で速さの比を求めれば、道のりを設定できたりするしね。

この問題なら、兄と弟の速さの比は2：1で、道のりは36になるってことだよね。
はるか

Haru_You
そこから具体的な数字と結びついて解くこともあるから、まず情景図で同じ道のりを進む場所を見つけることだね。

比で解く追いつきの旅人算の例題

弟が家を出てから5分後に、兄が走って追いかけると10分で、自転車で追いかけると3分で追いつきます。兄の走る速さと自転車の速さの比を求めなさい

走って10分、自転車で3分なら逆比で3：10じゃないの？
はるか

Haru_You
弟が同じ場所で立ち止まって、兄のことを待ってるならそうなるね。
でも、弟もその3分なり10分なりで進んじゃうんだから、そうはならないんだよ。

そっか、進む道のりが違ったら、時間と速さの逆比はなり立たないもんね。
やっぱり比の旅人算だから情景図書くところからスタートするか。
はるか

比で解く追いつきの旅人算の解き方

弟は5分先行してるから、走る兄に追いつかれるのに5+10＝15分、自転車兄に追いつかれるのは5+3＝8分てことか。
追いつかれた場所が違うから、それぞれ別々に、走る兄と弟、自転車兄と弟、っていう比にしたんだね。
はるか

Haru_You
うん、この問題は正直ちょっと難しいんだけど、情景図と比を使って解くって点で出会いのやつと同じ解き方だから説明したんだ。
似てる問題が後で出てくるから、この図の書き方を覚えておいてね。


旅人算の基本問題　演習プリント

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はるか

旅人算の基本問題

旅人算の基本問題

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はるか