数列・場合の数（聖光学院　H24大問３）

次のア～オにあてはまる整数を答えなさい

(1)1桁の数は0と1、2桁の数は0と1と2、3桁の数は0と1と2と3、4桁の数は0と1と2と3と4を使って作り、これらを小さい方から並べると、
　0、1、10、11、12、20、21、22、100、101、102、103、110、111、112、･･･、4444となります。
　このとき、小さい方から25番目の数は【ア】です。また、4444は【イ】番目の数です。

(2)次に、すべての１桁の数、9を含まない2桁の数、8と9を含まない3桁の数、7と8と9を含まない4桁の数という規則で5桁以上の数も作っていき、小さい方から並べると、
　0、1、2、3、…、8、9、10、11、･･･、87、88、100、101、･･･、777、1000、･･･となります。
　このとき、最も大きい数は【ウ】桁で、【ウ】桁の数は全部で【エ】個です。また、2012以下の数は全部で【オ】個です。

解法のポイント

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（1）のアについてはルールを確認しながら書いていけばすぐに求まりますが、ここで「使える数字が限られた位取りの問題」であることから、数字カードによる場合の数のように、積の法則で何通りの数字が作れるか計算できることに気がつかないと、イで手詰まりになります。逆に、3桁の数が何通り作れ、4桁の数が何通り作れるかが計算できれば、4444は4桁最大の数ですのですぐに解答になります。
（2）では、5桁以上の数についての規則がどのようになっていくか確認しましょう。桁数を増やせばいずれ使える数字がなくなってしまいますから、桁数が最大になるのは、１と0だけ残っているときであることに気づけばウ、エが解けます。
オは(1)と同様に作れる数が何通りあるかの計算で、2012まで作って行きましょう。