算数文章題講座 差集め/過不足算の解き方 基本問題
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差集め算って？
Haru_You
今回は和と差の文章題のなかでも、特に難関校で頻出の「差集め算」、別名「過不足算」をとりあげよう。
難関校で出やすい、ってことは難しいってこと？
はるか
Haru_You
いや、差集め算の基本パターンは難しくないんだよ。
ただ、この計算は条件を加えて応用問題を作りやすいんだな。
だからうまく条件を減らしていってシンプルな形に持ち込むことを考える必要があるんだ。
ただ、この計算は条件を加えて応用問題を作りやすいんだな。
だからうまく条件を減らしていってシンプルな形に持ち込むことを考える必要があるんだ。
じゃあ、まずはシンプルな形を完璧にマスターすることから始めないとだね。
はるか
同じ個数で考える差集め算の例題
1個150円のパンを何個か買うつもりで、ちょうどの金額を持って買いにいったところ、1個につき110円で売っていたので、予定と同じ個数を買ったら240円あまりました。持っていったお金は何円ですか
いくら持っていったかって聞かれても、パンを何個買ったかわからないからなあ。
はるか
Haru_You
算数の文章題への取り組み方として、「問われたことを求める前に、今わかることから求める」ってのがあるんだ。
この問題文なんかは、その典型的なパターンだよ。
この問題文なんかは、その典型的なパターンだよ。
えーと、ここからわかるのは1個につき150－110=40円安くなったってことかなあ。
はるか
Haru_You
そしたら、150円のパンを買わないで110円のパンを買うと1個につき40円あまるはずだよね。
240円あまったということは、何個買ったんだろうね？
240円あまったということは、何個買ったんだろうね？
あ、240÷40=6個買ったのか！
そうしたら、いくら持っていったかは計算できるね。
そうしたら、いくら持っていったかは計算できるね。
はるか
Haru_You
今の作業が「全体の差」÷「1つあたりの差」という式で、この考えを差集め算というんだよ。
同じ個数で考える差集め算の解き方
持っていたお金を求めたいのに、先に個数から求めないといけないんだね。
はるか
Haru_You
「今わかることから求める」って発想に慣れてくれば気にならないんだけどね。
慣れないうちは、買い物の差集めでは買った個数から、配る差集めでは配った人数から先に求めるってのを頭に入れておくといいね。
慣れないうちは、買い物の差集めでは買った個数から、配る差集めでは配った人数から先に求めるってのを頭に入れておくといいね。
でも、差集め算自体は簡単だったな。
全体の差が1個あたりの差を何個ぶん集めたものか、わり算するだけだし。
全体の差が1個あたりの差を何個ぶん集めたものか、わり算するだけだし。
はるか
Haru_You
ところが、今みたいに「全体の差」がはっきり書かれる問題はあまり出ないんだ。
差集め算はいろいろと書き方を変えてくるのが厄介なんだよ。
ということで、次は数のそろわない差集め算をやってみようか。
差集め算はいろいろと書き方を変えてくるのが厄介なんだよ。
ということで、次は数のそろわない差集め算をやってみようか。
数のそろわない差集め算の例題
1箱600円のお菓子を何箱か買うつもりでちょうどの金額を持って買いにいったところ、1箱につき80円安く売っていたので、予定より3箱多く買えて40円あまりました。持っていったお金は何円ですか
あまったのは40円？
だけど1個あたりの差は80円だし、計算合わないよね。
それに「3箱多く買えて」ってのが気になるなあ。
だけど1個あたりの差は80円だし、計算合わないよね。
それに「3箱多く買えて」ってのが気になるなあ。
はるか
Haru_You
お菓子は1箱600-80=520円で売ってたのはわかるだろ。
それを3箱多く買うには、いくら必要だい？
それを3箱多く買うには、いくら必要だい？
520×3=1560円いるよね。
そのお金はどこから出てきたんだろう･･･あ、安かったから予定通りの個数買うとお金があまるのか。
そのお金はどこから出てきたんだろう･･･あ、安かったから予定通りの個数買うとお金があまるのか。
はるか
Haru_You
そうだね、予定通りの個数買ってたら1560+40=1600円余っていたってことだよ。
差集め算だけじゃなく算数文章題全てでいえるんだけど、「予定より多く」みたいな後付けの条件はなくして文章をシンプルにすることが大事なんだ。
差集め算だけじゃなく算数文章題全てでいえるんだけど、「予定より多く」みたいな後付けの条件はなくして文章をシンプルにすることが大事なんだ。
予定と同じ個数、安いお菓子を買ったときの代金の差がわかったね。
あとは割れば個数がでるから、簡単だ。
あとは割れば個数がでるから、簡単だ。
はるか
Haru_You
最後にちょっとミスしやすいところあるから、気をつけてね。
数のそろわない差集め算の解き方
最後にミスしやすいところって、何？
はるか
Haru_You
解答に何を書くか、だよ。
差集め算は「問われたこと」に関係なく、「今わかること＝全体の差をつくった個数」から求めるからね。
この問題は持っていったお金を聞いていたけど、「予定の個数」じゃなくて「実際に買った個数」を答える場合もあるから、差集め算では「問われたこと」に注意して解答を書くようにね。
差集め算は「問われたこと」に関係なく、「今わかること＝全体の差をつくった個数」から求めるからね。
この問題は持っていったお金を聞いていたけど、「予定の個数」じゃなくて「実際に買った個数」を答える場合もあるから、差集め算では「問われたこと」に注意して解答を書くようにね。
数のそろわない差集め算もできたから、これで差集め算の基本は終わりかな？
はるか
Haru_You
まだまだ差集め算は続くよ。
次は「過不足」を見るタイプだ。
次は「過不足」を見るタイプだ。
両方ともあまり／不足の差集め算の例題
生徒に画用紙を配るのに、1人に6枚ずつ配ると53枚あまり、1人に8枚ずつ配っても5枚あまります。生徒の人数と画用紙の枚数をそれぞれ答えなさい
えーと、生徒の人数と画用紙の枚数を求める問題だね。
だけど先にわかることから考えるんだよね。
だけど先にわかることから考えるんだよね。
はるか
Haru_You
そうだね。
今わかることは「1人に配った枚数の差」と、「あまった枚数の差」だよ。
今わかることは「1人に配った枚数の差」と、「あまった枚数の差」だよ。
1人に8-6＝2枚配ったら、画用紙のあまりが53-5＝48枚差できたね。
じゃあ、割り算すれば配った人数がわかるじゃん。
じゃあ、割り算すれば配った人数がわかるじゃん。
はるか
Haru_You
うん、それでOK。
人数がわかれば、画用紙の枚数は求められるからね。
人数がわかれば、画用紙の枚数は求められるからね。
両方ともあまり／不足の差集め算の解き方
配りかたとあまりかたを縦に並べて書くのはわかりやすいね。
はるか
Haru_You
同じ項目を縦に並べて差を見やすくするのは、式や図を書くときのちょっとした工夫だね。
今回は2つの配りかたで、結果はどちらも「あまり」だったけど、どちらも「不足」してても同じように解けるからね。
今回は2つの配りかたで、結果はどちらも「あまり」だったけど、どちらも「不足」してても同じように解けるからね。
じゃあ、2つの配り方があるときは、配りかたとその結果どうしを引き算して、全体の差÷1人あたりの差で人数を求めればいいんだね。
はるか
Haru_You
ちょっと待って。
「差を引き算で求める」って覚えると失敗するんだ。
次の問題を見てからもう一度考えよう。
「差を引き算で求める」って覚えると失敗するんだ。
次の問題を見てからもう一度考えよう。
「あまり」と「不足」の差集め算の例題
子どもたちにみかんを配るのに、1人に6個ずつ配るには9個不足し、1人に4個ずつ配ると13個あまります。子どもの人数とみかんの個数を答えなさい
見た感じ、さっきのと同じだよね。
1人に配る個数が6-4=2個差で、結果が13-9=4個差。
1人に配る個数が6-4=2個差で、結果が13-9=4個差。
はるか
Haru_You
そしたら人数が4÷2=2人だけど、なんか数合わないだろ？
たしかに･･･。
そういえば、「9個不足」と「13個あまり」が4個しか違わないってなんか変な気もするな。
そういえば、「9個不足」と「13個あまり」が4個しか違わないってなんか変な気もするな。
はるか
Haru_You
そうだね。
その部分がどうなるか、実際に解いてみようか。
その部分がどうなるか、実際に解いてみようか。
「あまり」と「不足」の差集め算の解き方
「9個不足」と「13個あまり」で9+13=22個差なのか。
たしかに、線分図にして実際のみかんの個数と比べるとそうなるのがわかるね。
たしかに、線分図にして実際のみかんの個数と比べるとそうなるのがわかるね。
はるか
Haru_You
いちいち図にしなくても、「あまり」と「不足」みたいな「逆方向の言葉」の差はたし算で求めるってのは、弁償型つるかめ算でも使う考え方だから覚えておくこと。
そこさえ間違わなければ、やり方は同じだもんね。
次は、配る人数が変わるのかな？
次は、配る人数が変わるのかな？
はるか
Haru_You
それは練習問題に回すことにして、このタイプの差集め算をもう一題。
「配る」んじゃなくて「長いす」ってタイプの問題だ。
「配る」んじゃなくて「長いす」ってタイプの問題だ。
長いすの差集め算の例題
体育館で長いすに生徒を座らせます。1脚に7人ずつ座らせると、4人ぶんの空席ができ、1脚に5人ずつ座らせると8人が座れなくなります。生徒の人数を答えなさい
Haru_You
「あまり」「不足」って表現を使ってないからわかりにくいけど、さっきの例題と全く同じ解き方になるよ。
どこが「全体の差」だと思う？
どこが「全体の差」だと思う？
えーと、4人ぶんの空席と、座れない生徒8人ってとこかな･･･？
あ、いすが「4席あまり」と「8席不足」って意味になるのかな。
あ、いすが「4席あまり」と「8席不足」って意味になるのかな。
はるか
Haru_You
逆だよ。
いすの席数じゃなくて、配られた生徒が「4人不足」と「8人あまり」で考えるんだ。
いすの席数じゃなくて、配られた生徒が「4人不足」と「8人あまり」で考えるんだ。
でも、その後の計算は（8+4）÷（8-4）で同じじゃない？
はるか
長いすの差集め算の解き方
そっか、脚数を求めたあと、生徒の人数を求めるときに空席のぶんは引かないといけないのか。
空席を「あまり」だと思ってるとたしちゃうね。
空席を「あまり」だと思ってるとたしちゃうね。
はるか
Haru_You
そういうこと。
まあ、ミスしても解答出した後に検算すれば気がつくかもだけど、そもそもミスをしないことが大切だからね。
まあ、ミスしても解答出した後に検算すれば気がつくかもだけど、そもそもミスをしないことが大切だからね。
これで差集め算は一通りおしまい？
はるか
Haru_You
うん、差集め算には「買う」「配る」の他にこの「長いす」や「部屋割り」「集金」みたいないろんなパターンがあるんだ。
けど、どれもやることは同じだからね。
次は差集め算の基本問題にいこう。
けど、どれもやることは同じだからね。
次は差集め算の基本問題にいこう。
差集め算の基本問題 まとめ
・差集め算は「全体での差」÷「1つあたりの差」＝個数や人数
・「予定より多く」のような例外はなくして考える
・「あまり」どうし、「不足」どうしの差は引き算
・「あまり」と「不足」の差はたし算！
差集め算の基本問題 演習プリント
演習プリントには、Excelファイル版とPDFファイル版があります。
Excelファイル版はリロード・再計算（F8）するたびに数字や配列が変わります。
マクロは使用していませんので、セキュリティ警告はありません。
Excelファイル版はリロード・再計算（F8）するたびに数字や配列が変わります。
マクロは使用していませんので、セキュリティ警告はありません。
はるか
差集め算の基本問題（PDF版）
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本配布ファイルは個人利用に限り自由に使用することができますが、著作権は放棄していません。
学習塾、家庭教師などの商用利用は作成者までご相談ください。
本配布ファイルを利用した事によるいかなる損害も作成者は一切の責任を負いません。
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はるか
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