算数文章題講座 集合算の解き方 基本問題
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集合って？
集合ってどういう意味？
みんなで集まるの？
みんなで集まるの？
はるか
Haru_You
集合ってのは集まるんじゃなくて、集まり＝グループに参加しているかいないか、を考えることだよ。
なにわ男子とかHiHi Jetsとか？
はるか
Haru_You
そうだね、そんなグループのこと。
で、その集合を2つ同時に考えたときの共通部分と、共通していない部分を考えるのが受験算数での集合算なんだ。
で、その集合を2つ同時に考えたときの共通部分と、共通していない部分を考えるのが受験算数での集合算なんだ。
共通部分ってなに？
はるか
Haru_You
ほら、EXILEってグループと三代目JSBってグループを考えたとき、どっちにも入ってるメンバ－いるじゃん。
宮脇咲良ちゃんがIZ*ONEとHKTの両方に所属してるみたいに、2つのグループの両方に所属しているのが共通部分だよ。
宮脇咲良ちゃんがIZ*ONEとHKTの両方に所属してるみたいに、2つのグループの両方に所属しているのが共通部分だよ。
でも、それをどうやって算数の問題にするの？
はるか
Haru_You
2種類の○×アンケートを取ったときに、両方に○をつけた人は何人ですか？みたいな感じだね。
まずは実際の問題を見てみようか。
まずは実際の問題を見てみようか。
重なりを持つ2つの集合の表の例題
36人の生徒から、国語と算数の好き、きらいについて調べたところ、国語を好きな生徒が15人、算数を好きな生徒が18人、両方とも好きな生徒が7人でした。このとき、両方ともきらいな生徒は何人ですか
国語好きと算数好き、2つのグループがあって、さらに両方に入ってる人がいるわけだね。
はるか
Haru_You
どちらにも属さない人もいるわけだから、この場合4パターンに分けられるんだよ。
国語○算数○、国語○算数×、国語×算数○、国語×算数×、ってことね。
じゃあ、問題に書いてある「国語が好きな人」ってのはどういうこと？
じゃあ、問題に書いてある「国語が好きな人」ってのはどういうこと？
はるか
Haru_You
国語が好きな人の合計だから、国語が○で、算数が○の場合と×の場合を合わせた人のことだね。
まずはこれを表にまとめてみようか。
まずはこれを表にまとめてみようか。
重なりを持つ2つの集合の解き方
表にすると計算しやすいし、4パターンそれぞれの人数がわかりやすくなるね。
はるか
Haru_You
それは最初に「きらいな人」の人数を書いておいたからだね。
集合を考えるときのコツは、合計と集合の人数がわかっていたら、集合外の人数を同時に考えておくことなんだ。
集合を考えるときのコツは、合計と集合の人数がわかっていたら、集合外の人数を同時に考えておくことなんだ。
でも、この表って結構書くの面倒だよね。
枠の数とか間違えそう。
枠の数とか間違えそう。
はるか
Haru_You
確かに面倒だね。
そこで、もうすこし簡潔にまとめる方法を紹介してみようか。
そこで、もうすこし簡潔にまとめる方法を紹介してみようか。
2つの集合を線分図・ベン図にする例題
31人の生徒からハンカチとティッシュを持っているか調べたところ、ハンカチを持っているのが22人、ティッシュを持っているのが26人、どちらも持っていないのが4人でした。両方とも持っている生徒は何人ですか
さっきと問題はほぼ同じだよね。
同じ表書けばできるはずだけど･･･
同じ表書けばできるはずだけど･･･
はるか
Haru_You
うん、さっきの表で解けるよ。でも、別の解き方もやっておこう。
2つの集合を線分図・ベン図にする解き方
Haru_You
図の読み方はわかるかな？
青い部分と緑の部分がそれぞれハンカチ・ティッシュを持っている人、紫がどっちも持っていない人で、重なりの部分の黄色が両方持っている人だね。
青い部分と緑の部分がそれぞれハンカチ・ティッシュを持っている人、紫がどっちも持っていない人で、重なりの部分の黄色が両方持っている人だね。
線分図でもベン図でも、けっきょく計算は31−4＝27を求めておいてから、22＋26−27して同じなのか。
図はベン図より線分図のほうがわかりやすいかな。
はるか
Haru_You
うん、2つの集合の重なりなら線分図が一番使いやすいんだ。
でも、3つにまたがる集合だと線分図やさっきの表じゃうまく表せないから、ベン図も理解しておく必要があるんだよ。
でも、3つにまたがる集合だと線分図やさっきの表じゃうまく表せないから、ベン図も理解しておく必要があるんだよ。
ベン図なら3つの輪が重なる部分が書けるもんね。
ところで、なんでベン図って名前なの？
はるか
Haru_You
ベンさんが開発したから。
･･･それ、ほんと？
はるか
Haru_You
ほんとだよ。
イギリス人だったかな？数学者じゃなくて論理学とかで使ったんだと聞いているよ。
イギリス人だったかな？数学者じゃなくて論理学とかで使ったんだと聞いているよ。
集合の重なりの範囲が変化する例題
42人の生徒に理科と社会のテスト結果を聞いたところ、理科が80点以上の生徒は19人、社会が80点以上の生徒は24人でした。このとき、どちらも80点以上の生徒は何人以上何人以下ですか
あれ？表にしても内側の4パターンが埋まらないから全然進まないや。
はるか
Haru_You
そうだね、これは重なりの範囲が変化するる問題だから1つの表にするのには向いていないんだ。
じゃあ、線分図で書けばいいのかな？
でも重なりの長さやどっちにも入ってない部分の長さが決まらないから･･･
でも重なりの長さやどっちにも入ってない部分の長さが決まらないから･･･
はるか
Haru_You
いいんだよ、決まらなくて。
集合に入らない部分を動かしたときに、重なりの部分が一番長くなる場合と一番短くなる場合を考えるんだから。
集合に入らない部分を動かしたときに、重なりの部分が一番長くなる場合と一番短くなる場合を考えるんだから。
集合の重なりの範囲が変化する例題の解き方
これ、線分図って必要かなあ？
一番少ないときはそれぞれ80点以上の人数の合計から全体を引くだけだし、一番多いのは80点以上の人数が少ない方と同じ、ってことだよね。
一番少ないときはそれぞれ80点以上の人数の合計から全体を引くだけだし、一番多いのは80点以上の人数が少ない方と同じ、ってことだよね。
はるか
Haru_You
そうだね、考え方を理解していればまったく図も書かずに解ける問題だから、何度か解いてみたらそうやって計算だけで解いてもいいよ。
集合算の基本問題 演習プリント
演習プリントには、Excelファイル版とPDFファイル版があります。
Excelファイル版はリロード・再計算（F8）するたびに数字や配列が変わります。
マクロは使用していませんので、セキュリティ警告はありません。
Excelファイル版はリロード・再計算（F8）するたびに数字や配列が変わります。
マクロは使用していませんので、セキュリティ警告はありません。
はるか
集合算の基本問題(PDF版)
1 ファイル 254.60 KB
利用規定です。
本配布ファイルは個人利用に限り自由に使用することができますが、著作権は放棄していません。
学習塾、家庭教師などの商用利用は作成者までご相談ください。
本配布ファイルを利用した事によるいかなる損害も作成者は一切の責任を負いません。
本配布ファイルは個人利用に限り自由に使用することができますが、著作権は放棄していません。
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はるか
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